Question

设F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点；
①若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁，F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；
②设K是①中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对第①问，由题干条件及椭圆定义，得a，将点A的坐标代入椭圆方程中，得b²，从而得椭圆的方程；
对第②问，设动点K（x₀，y₀），设F₁K的中点为M（x，y），用x，y分别表示x₀，y₀，再将坐标（x₀，y₀）代入椭圆方程中，即得动点M的轨迹方程．

解答： 解：①由椭圆的定义知，|AF₁|+|AF₂|=2a，即4=2a，得a²=4，
从而椭圆C的方程可写成

x2

4

+

y2

b2

=1．
将A的坐标(1，

3

2

)代入上式中，得

12

4

+

( 3 2 )2

b2

=1，得b²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
②由①知，F₁的坐标为（-1，0），设动点K（x₀，y₀），线段F₁K的中点为M（x，y），如右图所示．
则由中点公式，有

x= -1+x0 2 y= 0+y0 2

，变形为

x0=2x+1 y0=2y

，
将上式代入

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1中，得

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1，
即得线段F₁K中点的轨迹方程为(x+

1

2

)2+

y2

3 4

=1．

点评：本题考查了椭圆的方程，椭圆的定义，轨迹方程的求法，利用相关点法求轨迹方程的一般步骤是：
（1）设轨迹上的点为M（x，y），其他点（即相关点）设为（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂）等；
（2）寻找x，y与相关点的关系，用x，y表示相关点；
（3）将相关点的坐标代入曲线方程中，化简，整理，即得动点M的轨迹方程．