Question

14．在等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{a_n}{3^n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁，a₂，a₅成等比数列．可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₅，又a₁=1，可得（1+d）²=1×（1+4d），d≠0，解得d即可得出．
（2）${b_n}=\frac{a_n}{3^n}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₂，a₅成等比数列．∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₅，又a₁=1，
∴（1+d）²=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．
∴a_n=2n-1．
（2）${b_n}=\frac{a_n}{3^n}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$．
相减可得：$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+2（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{3}+2×\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$．
可得：T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查了错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．