题目内容
证明：正方体对角线与其不相交的面的对角线垂直．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系
专题：空间向量及应用
分析：如图所示，建立空间直角坐标系．要证明
⊥
，只要证明
•
=0即可．
| AC1 |
| DB |
| AC1 |
| DB |
解答：
证明：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设正方体的棱长AB=1．
则A（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），C1（1，1，1）．
∴
=（1，1，1），
=（-1，1，0）．
∵
•
=-1+1+0=0，
∴
⊥
．
即正方体对角线与其不相交的面的对角线垂直．
不妨设正方体的棱长AB=1．
则A（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），C1（1，1，1）．
∴
| AC1 |
| DB |
∵
| AC1 |
| DB |
∴
| AC1 |
| DB |
即正方体对角线与其不相交的面的对角线垂直．
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
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