Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$+ax在x=-1是取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数y=f（x）在区间[-2，0）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（-1）=0，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2x+a，
由函数在x=-1处取极值，故f′（-1）=0，
即1+2+a=0，解得：a=-3；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
故f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故f（x）在[-2，-1）递增，在（-1，0）递减，
由f（-2）=-$\frac{2}{3}$，f（-1）=$\frac{5}{3}$，
故f（x）_max=f（-1）=$\frac{5}{3}$，
f（x）_min=f（-2）=-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及极值的意义，是一道中档题．