Question

20．如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，CC₁=2，则直线BC₁和平面DBB₁D₁所成角的正弦值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．

解答 解：由题意，连接A₁C₁，交B₁D₁于点O，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，
∴C₁O⊥B₁D₁
∴C₁O⊥平面DBB₁D₁
在Rt△BOC₁中，C₁O=2$\sqrt{2}$，BC₁=2$\sqrt{5}$，
∴直线BC₁和平面DBB₁D₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故选：C．

点评 本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影．