Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁₀=21，S₁₀=120．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁₀=21，S₁₀=120．可得a₁+9d=21，10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=120，解得a₁，d．即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$+1=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$+1，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁₀=21，S₁₀=120．∴a₁+9d=21，10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=120，
解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+1=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$+1=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$+1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$+n
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$+n
=$\frac{n}{6n+9}$+n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．