Question

在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinB=3csinA，c=2，且c，a-1，b+2依次成等比数列．
（1）求a的大小；
（2）求cos（A+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,等比数列的性质

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据正弦定理推论，得到b=3c，然后，根据c，a-1，b+2依次成等比数列．从而确定a的大小；
（2）直接借助于两角和的余弦公式进行求解即可．

解答： 解：（1）∵asinB=3csinA，
∴ab=3ac，
∴b=3c，∵c=2，
∴b=6，
∵c，a-1，b+2依次成等比数列．
∴（a-1）²=2×8，
∴a=5，
（2）根据余弦定理，得
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

36+4-25

24

=

5

8

，
∴sinA=

39

8

，
∴cos（A+

π

6

）=cosAcos

π

6

-sinAsin

π

6

=

5

8

×

3

2

-

39

8

×

1

2

=

5 3 - 39

16

，
∴cos（A+

π

6

）=

5 3 - 39

16

，

点评：本题重点考查了正弦定理、三角恒等变换公式等知识，属于中档题．