Question

函数f（x）=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，有下列结论：
①m∈[3，4）；
②abcd∈[0，e⁴）；
③a+b+c+d∈[e⁵+

1

e

-2，e⁶+

1

e2

-2）； 
④若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则m取值唯一．
其中正确的结论个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：对于①画出y=f（x）与y=m的图象即可；对于②，结合图象把abcd的不等式用m表示出来
对于③同样用m把a+b+c+d表示出来；对于④若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=-x+m有三个不同的交点，画图即可．

解答： 解：∵f(x)=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

=

-(x+1)2+4， x≤0 |2-lnx|，        x＞0

∴函数f（x）的图象如下


若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故①正确
四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b是x²+2x+m-3=0
的两根，∴a+b=-2，ab=m-3，∴ab∈[0，1），且lnc=2-m，lnd=2+m，∴ln（cd）=4∴cd=e⁴，
∴abcd∈[0，e⁴），∴②是正确的．由2-lnx=4得x=

1

e2

，由2-lnx=3得x=

1

e

，∴c∈（

1

e2

，

1

e

]，又∵cd=e⁴，
∴a+b+c+d=c+

e4

c

-2在（

1

e2

，

1

e

]是递减函数，∴a+b+c+d∈[e⁵+

1

e

-2，e⁶+

1

e2

-2）； 
∴③是正确的
若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=-x+m有三个不同的交点，
而直线y=-x+3 与y=-x+

15

4

均与y=f（x）有三个交点，∴m不唯一．∴④是不正确的
故选C

点评：本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强．