Question

如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁的各棱长都相等，M、E分别是AB和AB₁的中点，点F在BC上，且满足BF=1，FC=3．
（Ⅰ）求证：BB₁∥平面EFM；
（Ⅱ）求二面角A-ME-F的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明BB₁∥平面EFM；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出二面角A-ME-F的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵M、E分别是AB和AB₁的中点，
∴ME∥BB₁，
又ME?平面EFM，BB₁?平面EFM，
则BB₁∥平面EFM；
（Ⅱ）过A做AO⊥BC于O，取BC₁的中点N，分别以OB，ON，OA所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，0，2

3

），M（1，0，

3

），E（1，2，

3

），F（1，0，0），
由

AM

=(1，0，-

3

)，

AE

=（1，2，-

3

），得平面AME的一个法向量为

m

由

FM

=(1，0，

3

)，

FE

=（0，2，

3

），得平面MEF的一个法向量为

n

=(1，0，0)，
因此cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

2

由图可知二面角A-ME-F的平面角为钝角，则二面角A-ME-F的余弦值为-

3

2

点评：本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．