Question

1．已知函数f（x）=$\frac{a}{{x}^{2}}$+21nx，若当a＞0时，f（x）≥2恒成立，则实数a的取值范围是a≥e．

Answer 1

分析 不等式可整理为a≥2x²（1-lnx）恒成立，只需求出右式的最大值即可，构造函数令h（x）=2x²（1-lnx），求出导函数h'（x）=2x（1-2lnx），
利用导函数求出原函数的最大值即可．

解答 解：若当a＞0时，f（x）≥2恒成立，
∴a≥2x²（1-lnx）恒成立，
令h（x）=2x²（1-lnx），h'（x）=2x（1-2lnx），
∴当x∈（0，${e}^{\frac{1}{2}}$）时，h（x）＞0，h（x）递增，
当x∈（${e}^{\frac{1}{2}}$，+∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，
∴h（x）的最大值为h（${e}^{\frac{1}{2}}$）=e，
∴a≥e．

点评 考查了恒成立问题的转化和构造函数，利用导函数判断函数最值．