Question

20．已知点P在椭圆C：2x²+y²=4上，则P到M（1，0）的距离的最大值为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 椭圆C：2x²+y²=4化为：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，设P$（\sqrt{2}cosθ，2sinθ）$（θ∈[0，2π））．再利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：椭圆C：2x²+y²=4化为：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，
设P$（\sqrt{2}cosθ，2sinθ）$（θ∈[0，2π））．
∴|PM|=$\sqrt{（\sqrt{2}cosθ-1）^{2}+4si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{6-2（cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$≤$\sqrt{6}$，当cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴P到M（1，0）的距离的最大值为$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、二次函数的单调性、三角函数的单调性、椭圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．