Question

14．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x-2=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），在以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且与直角坐标系有相同的长度单位的极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（3）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程；线l的方程的极坐标方程转化为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2），（4，0），由此利用两点间距离公式能求出直线l被曲线C截得的弦长．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x-2=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C的普通方程为（x-2）²+y²=4，
∵直线l的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
即$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$，
∴直线l的直角坐标方程为x+y-4=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴直线l与曲线C的交点坐标为（2，2），（4，0），
∴直线l被曲线C截得的弦长为：
$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-2）^{2}}$=$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线的普通方程、直线的直角坐标方程的求法，考查直线被曲线截得的弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．