Question

5．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\end{array}\right.$，且当函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的取值范围是（$\frac{1}{4}，6-\sqrt{30}$）．（$\sqrt{2}≈$1.414，$\sqrt{30}$≈5.477）

Answer 1

分析 由已知函数的奇偶性及函数解析式作出函数y=f（x-1）的图象，把函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零点个数转化为y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$与y=f（x-1）的图象交点的个数，数形结合得答案．

解答 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\end{array}\right.$，
∴y=f（x-1）的图象如图所示：
y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$表示过点（2，$\frac{1}{2}$），斜率为k的直线，
由图可得，y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$与y=f（x-1）的图象最多有5个交点，
即函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）至多有5个零点．
当k=$\frac{1}{4}$时，直线y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$过原点，此时y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$与y=f（x-1）的图象有4个交点，
即函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）有4个零点；
当k=6-$\sqrt{30}$时，直线y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$与y=f（x-1）的图象抛物线部分相切，此时y=k（x-2）+$\frac{1}{2}$
与y=f（x-1）的图象有4个交点，即函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）有3个零点．
故当函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$-k（x-2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，k∈（$\frac{1}{4}，6-\sqrt{30}$）．
故答案为：（$\frac{1}{4}，6-\sqrt{30}$）．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．