Question

已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x)＝2x＋2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，S_n)(n∈N^*)均在函数y＝f(x)的图象上．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝2ⁿ·a_n，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n.

Answer 1

 (1)设f(x)＝ax²＋bx，f ′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，

∴a＝1，b＝2，f(x)＝x²＋2x，

∴S_n＝n²＋2n，

∴当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(n²＋2n)－[(n－1)²＋2(n－1)]＝2n＋1，

又a₁＝S₁＝3，适合上式，∴a_n＝2n＋1.

(2)b_n＝(2n＋1)·2ⁿ，

∴T_n＝3·2¹＋5·2²＋7·2³＋…＋(2n＋1)·2ⁿ，

∴2T_n＝3·2²＋5·2³＋7·2⁴＋…＋(2n＋1)·2^n＋1，

相减得－T_n＝3·2¹＋2·(2²＋2³＋…＋2ⁿ)－(2n＋1)·2^n＋1

＝6＋2·－(2n＋1)·2^n＋1

＝(1－2n)·2^n＋1－2，

∴T_n＝(2n－1)·2^n＋1＋2.