Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+a（ω＞0）与g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意，求出ω的值，即可求出f（x）的最小正周期T；
（2）由f（x）的解析式，求出f（x）的单调减区间；
（3）求出x∈[0，

π

2

]时，sin（2x+

π

6

）的最小值，即可求出f（x）的最小值，从而求得a的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）与g（x）图象的对称轴完全相同，
∴ω=2，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

ω

=

2π

2

=π；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a，
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

3

+2kπ≤2x≤

4

3

π+2kπ，k∈Z，
即

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，2x∈[0，π]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）有最小值为-

1

2

，
∴f（x）的最小值是2×（-

1

2

）+a=-2，
∴a=-1．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应熟记正弦、余弦函数的图象与性质，是基础题．