Question

已知圆C的方程为x²+y²+2x-6y-6=0，O为坐标原点．
（Ⅰ）求过点M（-5，11）的圆C的切线方程；
（Ⅱ）若圆C上有两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，并且满足

OP

•

OQ

=-7，求m的值和直线PQ的方程．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,圆的切线方程

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：（Ⅰ）化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，然后分切线的斜率存在和不存在求解，当斜率不存在时直接写出切线方程，斜率存在时，设出切线方程的点斜式，化为一般式，由圆心到切线的距离等于半径求斜率，则曲线方程可求；
（Ⅱ）曲线x²+y²+2x-6y-6=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值；设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．联立方程组，结合韦达定理，以及满足

OP

•

OQ

=-7，求得k的方程，然后求直线PQ的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由圆C：x²+y²+2x-6y-6=0，得（x+1）²+（y-3）²=16，
∴圆C的圆心坐标C（-1，3），半径为4，
当过点M的圆C的切线的斜率不存在时，圆的切线方程为x=-5；
当过点M的圆C的切线的斜率存在时，
设过点M的圆C的切线方程为y-11=k（x+5），即kx-y+5k+11=0．
由题意得：d=

|-k-3+5k+11|

k2+1

=4．
解得k=-

3

4

．
∴过点M的圆C的切线方程为y-11=-

3

4

（x+5），即3x+4y-29=0．
综上，过点M的圆C的切线方程为x=-5或3x+4y-29=0；
（Ⅱ）曲线方程为（x+1）²+（y-3）²=16表示圆心为（-1，3），半径为4的圆．
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（-1，3）在直线上．代入得m=-1．
∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．
将直线y=-x+b代入圆方程，得2x²+2（4-b）x+b²-6b-7=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b-7）＞0，得2-

34

＜b＜2+

34

．
由韦达定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=

b2-6b-7

2

．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=

b2

2

+b-

7

2

．
∵

OP

•

OQ

=-7，∴x₁x₂+y₁y₂=-7，
即b²-2b-7=-7．
解得b=0或2∈（2-

34

，2+

34

）．
∴所求的直线方程为y=-x或y=-x+2．

点评：本题考查了圆的切线方程的求法，考查直线与圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中档题．