Question

已知f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

．
（1）写出f（x）的最小正周期T；
（2）求由y=f（x）（0≤x≤

5π

6

），y=0（0≤x≤

5π

6

），x=

5π

6

（-1≤y≤0）以及x=0（-

1

2

≤y≤0）围成的平面图形的面积．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期函数求得函数的最小正周期．
（2）利用（1）中f（x）的解析式，运用定积分求得面积．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

sinxcosx-

2cos2x-1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（2）设由y=f（x）（0≤x≤

5π

6

），y=0（0≤x≤

5π

6

），x=

5π

6

（-1≤y≤0）以及x=0（-

1

2

≤y≤0）围成的平面图形的面积为S，
∵f（x）=sin（2x-

π

6

），
∴S=-

∫

π 12 0

sin（2x-

π

6

）dx+3

∫

π 3 π 12

sin（2x-

π

6

）dx，
∵[-

cos(2x- π 6 )

2

]′=sin（2x-

π

6

），
∴S=

cos(2× π 12 - π 6 )-cos(2×0- π 6 )

2

+3•[

cos(2× π 12 - π 6 )-cos(2× π 3 - π 6 )

2

]=2-

3

4

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，定积分在求面积中的应用，三角函数图象与性质等知识．综合考查了学生分析和推理的能力．