Question

设数列|a_n|的前n项和为S_n，且a₁=4，S_n=na_n-

n(n-1)

2

（n∈N^*），数列|b_n|满足b₁=4，且b_n=b_n-1²-（n-2）b_n-1-2（n≥2，n∈N^*）
（1）求数列|a_n|的通项公式；
（2）求证：b_n＞a_n（n≥2，n∈N^*）；
（3）求证：（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

（n≥2，n∈N^*）（注：e是自然对数的底数）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，两式作差求通项公式；
（2）利用数学归纳法证明即可；
（3）构造函数f（x）=ln（1+x）-x，利用导数证得ln（1+x）＜x，故ln（1+

1

bnbn+1

）＜

1

bnbn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，裂项求和得ln（1+

1

b2b3

）+ln（1+

1

b3b4

）+…+ln（1+

1

bnbn+1

）＜

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

3

-

1

n+2

＜

1

3

，即得结论成立．

解答： 解：（1）当n≥2时，S_n=na_n-

n(n-1)

2

（n∈N^*），S_n-1=（n-1）a_n-1-

(n-1)(n-2)

2

，
可得a_n=na_n-（n-1）a_n-1-n+1，∴a_n-a_n-1=1（n≥2，n∈N^*）
∴数列{a_n}是首项为4，公差为1的等差数列，
∴a_n=n+3
（2）1°当n=2时，b₂=

b

2 1

-2=14＞a₂=5不等式成立；
2°假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即b_k＞k+3，
那么，当n=k+1时，b_k+1=

b

2 k

-（k-1）b_k-2=b_k（b_k-k+1）-2＞2b_k-2＞2（k+1）-2=2k≥k+2，
所以当n=k+1时，不等式也成立；
根据（1°），（2°）可知，当n≥2，n∈N*时，b_n＞a_n．
（3）设f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0），∴ln（1+x）＜x
∵当n≥2，n∈N*时，

1

bn

＜

1

an

=

1

n+1

，
∴ln（1+

1

bnbn+1

）＜

1

bnbn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴ln（1+

1

b2b3

）+ln（1+

1

b3b4

）+…+ln（1+

1

bnbn+1

）＜

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

3

-

1

n+2

＜

1

3

，
∴（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

（n≥2，n∈N^*）．

点评：本题主要考查利用定义判断数列是等差数列及利用数学归纳法证明不等式成立等知识，考查通过构造函数法证明不等式的思想方法，属难题．