Question

4．当x∈（0，e]时，证明${e^2}{x^2}-\frac{5}{2}x＞（x+1）lnx$．

Answer 1

分析 分析表达式，构造两个新函数F（x）=e²x-lnx与φ（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$，而后求证F（x）_min＞φ（x）_max．

解答 解：令F（x）=e²x-lnx
对F（x）求导：F'（x）=${e}^{2}-\frac{1}{x}$
令F'（x）=0⇒x₀=$\frac{1}{{e}^{2}}$
∴F（x）在（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）上单调递减，（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）上单调递增；
所以，F（x）_min=F（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=3．
令$ϕ（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}，x∈（0，e]$，$ϕ'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$
当x∈（0，e]时，ϕ'（x）≥0；
∴f（x）在（0，e]上单调递增；
∴$ϕ{（x）_{max}}=ϕ（e）=\frac{1}{e}+\frac{5}{2}＜\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$；
∴${e^2}x-lnx＞\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$；
即${e^2}{x^2}-\frac{5}{2}x＞（x+1）lnx$．

点评 本题主要考查利用构造新函数的方式来证明不等式成立，考查函数的单调性，属于中等难度题．