Question

12．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ=1．
（Ⅰ）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标压缩为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求点P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）将直线l中的x与y代入到直线C₁中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．
（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C₂任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．

解答 解：（1）直线l的普通方程为$y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，曲线C₁的普通方程为x²+y²=1
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得交点坐标$A（{1，0}），B（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
∴|AB|=1
（2）曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
设所求的点为$P（{\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}）$
则点P到直线l的距离$d=\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\sqrt{3}}|}}{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}sin（{θ-\frac{π}{4}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${d_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{{\sqrt{6}}}{4}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}（{\sqrt{2}-1}）$

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C₂的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．