Question

14．如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=2，CD=4，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；
（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；
（2）以D为原点，DA，DC，DE为x，y，z轴，建立空间的直角坐标系，求得A，B，C，D，E，F的坐标，运用向量垂直的条件，求得平面BDM和平面CDE的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 （1）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
∵平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴BC⊥ED．
∵ED⊥平面ABCD，∠EBD为BE与平面ABCD所成的角，
设ED=a，则AD=a，DB=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，
在Rt△EDB中，tan∠EBD=$\frac{a}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=2，…（3分）
在直角梯形ABCD中，BC=2$\sqrt{2}$，
在△BDC中，BD=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，CD=4，
∴BD²+BC²=CD²，∴BC⊥BD．
又ED∩BD=D，故BC⊥平面BDE．
又BC?平面BEC，则平面BDE⊥平面BEC．…（6分）
（2）解：由题知，DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，…（7分）

则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），F（2，0，2），C（0，4，0），E（0，0，2），
取平面CDE的一个法向量$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），…（8分）
设平面BDF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$．
令x=1，则y=z=-1，
所以$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）．…（10分）、
设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（11分）
所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查空间的线面位置关系的证明，以及空间二面角的求法，注意运用面面垂直的判定定理和性质定理，考查运算和推理能力和空间想象能力，属于中档题．