Question

如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：

2

．求：
（1）直线PB与与平面ABCD所成角的大小；
（2）直线PB与平面PDC所成角的大小．
（3）直线PC与平面PBD所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，得∠PBD是直线PB与与平面ABCD所成角，由此能求出直线PB与与平面ABCD所成角．
（2）由已知得PD⊥面ABCD，从而PD⊥CD，PD⊥BC，进而BC⊥面PCD，∠BPC是PB与平面PDC所成的角，由此能求出直线PB与平面PDC所成角．
（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC与平面PBD所成角的大小．

解答： .解：（1）∵PD⊥平面ABCD，
∴∠PBD是直线PB与与平面ABCD所成角，
∵AD⊥PC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：

2

，
∴设PD=1，DC=1，BC=

2

，AD⊥平面PDC，
∴∠BCD=90°，BD=

DC2+BC2

=

3

，
∴tan∠PBD=

PD

BD

=

1

3

=

3

3

，
∴∠PBD=30°，
∴直线PB与与平面ABCD所成角为30°．
（2）∵AD⊥DC，AD∥BC
∴底面ABCD是直角梯形，即BC⊥CD
∵PD⊥面ABCD∴PD⊥CD，PD⊥BC，∴BC⊥面PCD，
∴∠BPC是PB与平面PDC所成的角
又PD：DC=1：1，设PD=1，则PC=

2

，
∵DC：BC=1：

2

，∴BC=

2

=PC
∴∠BPC=45°，
∴直线PB与平面PDC所成角为45°．
（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0），B（

2

，1，0），

DP

=(0，0，1)，

DB

=(

2

，1，0)，

PC

=（0，1，-1），
设平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DP =z=0 n • DB = 2 x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-

2

，0），
设直线PC与平面PBD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

PC

，

n

＞|=

| PC • n |

| PC |•| n |

=

2

2 × 3

=

3

3

，
∴直线PC与平面PBD所成角的大小为arcsin

3

3

．

点评：本题考查线面平行，线面垂直的性质的应用，考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用，是中档题．