Question

如图所示，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=CC₁=

1

2

CD，且E，F，G分别为棱BC，CD，A₁B₁的中点．
（1）求证：AG∥平面C₁EF；
（2）求异面直线AG与C₁E所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由

AG

=（0，1，1），

FC1

=（0，1，1），得AG∥FC₁，由此能证明AG∥平面C₁EF．
（2）求出

AG

=（0，1，1），

C1E

=（

1

2

，0，-1），由此利用向量法能求出异面直线AG与C₁E所成角的余弦值．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设BC=CC₁=

1

2

CD=1，
则A（1，0，0），G（1，1，1），
F（0，1，0），C₁=（0，2，1），
∴

AG

=（0，1，1），

FC1

=（0，1，1），
∴

AG

∥

FC1

，∴AG∥FC₁，
又AG?平面C₁EF，FC₁?平面C₁EF，
∴AG∥平面C₁EF．
（2）解：

AG

=（0，1，1），E（

1

2

，2，0），

C1E

=（

1

2

，0，-1），
设异面直线AG与C₁E所成角为θ，
则cosθ=

| AG • C1E |

| AG |•| C1E |

=

1

2 • 1+ 1 4

=

10

5

．
∴异面直线AG与C₁E所成角的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．