Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中点，F是AC与BD的交点．
（1）求证：BD⊥A₁F；
（2）求直线BE与平面A₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由

BD

•

A1F

=0，利用向量法能证明BD⊥A₁F．
（2）求出平面A₁EF的法向量，设直线BE与平面A₁EF所成角为θ，由sinθ=|cos＜

BE

，

n

＞|=

| BE • n |

| BE |•| n |

，利用向量法能求出直线BE与平面A₁EF所成角的正弦值．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
B（2，2，0），D（0，0，0），A₁（2，0，2），F（1，1，0），

BD

=（-2，-2，0），

A1F

=（-1，1，-2），
∴

BD

•

A1F

=2-2+0=0，
∴BD⊥A₁F．
（2）解：B（2，2，0），E（0，2，1），
A₁（2，0，2），F（1，1，0），

BE

=（-2，0，1），

A1E

=（-2，2，-1），

A1F

=（-1，1，-2），
设平面A₁EF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • A1E =-2x+2y-z=0 n • A1F =-x+y-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，0），
设直线BE与平面A₁EF所成角为θ，
sinθ=|cos＜

BE

，

n

＞|=

| BE • n |

| BE |•| n |

=

2

5 • 2

=

10

5

．

点评：本题考查线面平行，线面垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用，是中档题．