Question

在直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的圆O与直线l：x-

3

y=8相切．
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使PA，PO，PB成等比数列，求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用,直线与圆

分析：（1）求出圆心O到直线l的距离得圆的半径r，写出圆的方程即可；
（2）设出点P的坐标，求出A、B的坐标，由PA，PO，PB成等比数列，得出x、y的关系式，再求

PA

•

PB

的取值范围即可．

解答： 解：（1）∵圆心O到直线l：x-

3

y-8=0的距离是d=r，
∴r=

|1×0- 3 ×0-8|

12+( 3 )2

=4；
∴圆O的方程是x²+y²=16；
（2）设点P（x，y），其中x²+y²＜16；
在圆O的方程x²+y²=16中，令y=0，得x=±4，
∴A（-4，0），B（4，0）；
由PA，PO，PB成等比数列，
得PO²=PA•PB；
∴x²+y²=

((x+4)2+y2)((x-4)2+y2)

，
化简得x²-y²=8；
由

x2+y2＜16 x2-y2=8

，
得8≤x²＜12；
∴

PA

•

PB

=x2+y2-16=2x2-24∈[-8，0)．

点评：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，考查了等比中项的应用问题，是综合题目．