Question

给出以下结论：
①f（x）=|x+1|-|x-1|是奇函数；
②g（x）=

1-x2

|x+2|-2

既不是奇函数也不是偶函数；
③F（x）=f（x）f（-x）（x∈R）是偶函数；
④h（x）=lg

1-x

1+x

是奇函数．
其中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，利用奇函数的概念，判断f（-x）是否等于-f（x）即可；
②，依题意知-1≤x≤1，于是可得g（x）=

1-x2

x

，利用奇偶函数的概念判断即可；
③，利用奇函数的概念可判断F（x）=f（x）f（-x）是偶函数；
④，利用对数的运算性质及奇函数的概念可判断h（x）=lg

1-x

1+x

是奇函数．

解答： 解：对于①，∵f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=-（|x+1|-|x-1|）=-f（x），
∴f（x）=|x+1|-|x-1|是奇函数，①正确；
对于②，由1-x²≥0得：-1≤x≤1，
∴g（x）=

1-x2

|x+2|-2

=

1-x2

x+2-2

=

1-x2

x

，满足g（-x）=-g（x），故y=g（x）是奇函数，②错误；
对于③，∵F（x）=f（x）f（-x），
∴F（-x）=f（-x）f（x）=F（x）（x∈R），∴F（x）=f（x）f（-x）是偶函数，③正确；
对于④，由

1-x

1+x

＞0得，-1＜x＜1，
又h（-x）=lg

1+x

1-x

=lg(

1-x

1+x

)-1=-lg

1-x

1+x

=-h（x），∴h（x）=lg

1-x

1+x

是奇函数，④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，主要考查函数的奇偶性判断与应用，属于中档题．