Question

设函数f（x）=ln

1x+2x+…+(n-1)x+nxa

n

，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x-1）lnn在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，将原不等式等价变形为：（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，再变量分离得到1-a＜（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+（

3

n

）^x+…+（

n-1

n

）^x，原不等式在区间[1，+∞）上有解，即1-a小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值，最后结合n≥2即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：不等式f（x）＞（x-1）lnn，即
ln

1x+2x+…+(n-1)x+nxa

n

＞lnn^x-1，
∵对数的底e＞1，
∴原不等式可化为1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x+n^xa＞n^x，
移项得（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，
因为n是正整数，所以两边都除以n^x，得
1-a＜（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+（

3

n

）^x+…+（

n-1

n

）^x …（*）
不等式f（x）＞（x-1）lnn在区间[1，+∞）上有解，即（*）式的右边的最大值大于1-a
∵g（x）=（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+（

3

n

）^x+…+（

n-1

n

）^x 在[1，+∞）上是一个减函数
∴当x=1时，g（x）的最大值为

1

n

+

2

n

+

3

n

+…+

n-1

n

=

1

n

×

n(n-1)

2

=

n-1

2

因此1-a＜

n-1

2

，得实数a的取值范围是a＞1-

n-1

2

，结合n≥2得a＞

1

2

故答案为：{a|a＞

1

2

}

点评：本题给出对数型函数，求一个不等式在区间上有解的参数a的取值范围，着重考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了学生对基本初等函数的掌握，属于中档题．