Question

设函数f（x）=kx²-4kx+2在[-4，3]上有最大值3，试求常数k的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：先用配方法将函数变形，求出其对称轴，再根据开口方向，确定函数的单调性，明确取最大值的状态，再计算．

解答： 解：∵f（x）=kx²-4kx+2=k（x-2）²-4k+2，∴对称轴为x=2，
（1）当k＞0时，二次函数图象开口向上，
当x=-4时，f（x）有最大值，f（-4）=k•（-4）²-4k×（-4）+2=32k=3
∴k=

3

32

；
（2）当k＜0时，二次函数图象开口向下，
当x=2时，f（x）有最大值，f（2）=-4k+2=3
∴k=-

1

4

．
（3）当k=0时，显然不成立．
故k的取值集合为：{

3

32

，-

1

4

}．

点评：本题主要考查函数最值的求法，基本思路是：二次项系数位置有参数时，先分类讨论，再确定对称轴和开口方向，明确单调性，再研究函数最值．