Question

18．已知抛物线C：x${\;}^{2}=\frac{1}{2}y$，直线y=kx+2交C于M、N两点，Q是线段MN的中点，过Q作x轴的垂线交C于点T．
（1）证明：抛物线C在点T处的切线与MN平行；
（2）是否存在实数k使$\overrightarrow{TM}•\overrightarrow{TN}=0$，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得2x²-kx-2=0，由此利用韦达定理、导数性质能证明抛物线C在T点处的切线与MN平行．
（2）求出T（$\frac{k}{4}，\frac{{k}^{2}}{8}$），由此利用向量的数量积公式和韦达定理能求出存在k=±2，满足$\overline{TM}•\overline{TN}$=0．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），…（1分）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得2x²-kx-2=0，…（2分）
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{k}{2}$，x₁x₂=-1，…（3分）
∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{k}{4}$，…（4分）
∵y=2x²，∴${{y}^{'}|}_{x={x}_{0}}^{\;}$=k，
∴抛物线C在T点处的切线与MN平行． …（6分）
解：（2）由（1）得T（$\frac{k}{4}，\frac{{k}^{2}}{8}$），…（7分）
则$\overrightarrow{TM}•\overrightarrow{TN}$=（${x}_{1}-\frac{k}{4}$）（${x}_{2}-\frac{k}{4}$）+（y₁-$\frac{{k}^{2}}{8}$）（${y}_{2}-\frac{{k}^{2}}{8}$）                                         
=（k²+1）x₁x₂+（$\frac{7}{4}k-\frac{{k}^{3}}{8}$）（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{16}+（2-\frac{{k}^{2}}{8}）^{2}$…（9分）
=-$\frac{3}{63}（{k}^{2}-4）（{k}^{2}+16）$=0，…（11分）
解得k=±2，
∴存在k=±2，满足$\overline{TM}•\overline{TN}$=0．…（12分）

点评 本题考查直线平行的证明，考查使得数量积为零的斜率是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、韦达定理、直线与圆锥曲线的位置关系的合理运用．