Question

8．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$；$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$得-3$\overrightarrow{OA}$=4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$，两边平方即可得出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，同理可求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$；
（2）利用（1）中的方法求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，得出$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夹角，代入面积公式进行计算．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴-3$\overrightarrow{OA}$=4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$，∴（-3$\overrightarrow{OA}$）²=（4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$）²，即9=16+40$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$+25，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=-$\frac{4}{5}$．
∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴-4$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OC}$，∴（-4$\overrightarrow{OB}$）²=（3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OC}$）²，即16=9+30$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+25，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=-$\frac{3}{5}$．
（2）∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴-5$\overrightarrow{OC}$=3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$，∴25=9+24$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+16，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．∴OA⊥OB．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•OA•OB=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，合理利用OA=OB=OC=1是关键，属于基础题．