Question

7．已知函数$f（x）=\frac{1}{x+1}$，点O为坐标原点，点${A_n}（n，f（n））（n∈{N^*}）$，向量$\overrightarrow a=（0，1），{θ_n}$是向量${\overrightarrow{OA}_n}$与$\overrightarrow a$的夹角，则$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+…+\frac{{cos{θ_{2016}}}}{{sin{θ_{2016}}}}$=（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{2015}{2016}$
• C． $\frac{2014}{2015}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{O{A}_{n}}$•$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{O{A}_{n}}$|，|$\overrightarrow{a}$|，代入夹角公式求出cosθ_n，得出sinθ_n，找到$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$的表达式，代入计算即可．

解答 解：A_n=（n，$\frac{1}{n+1}$），$\overrightarrow{O{A}_{n}}$=（n，$\frac{1}{n+1}$），∴|$\overrightarrow{O{A}_{n}}$|=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{1}{n+1}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}（{n+1）}^{2}+1}}{n+1}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{O{A}_{n}}$•$\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{n+1}$，
∴cosθ_n=$\frac{\overrightarrow{O{A}_{n}}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{O{A}_{n}}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，∴sinθ_n=$\frac{n（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，∴$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+…+\frac{{cos{θ_{2016}}}}{{sin{θ_{2016}}}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故选A．

点评 本题考查了向量数量积的运算，向量的夹角公式，数列求和，属于中档题．