Question

3．一个椭圆中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，P（2，$\sqrt{3}$）是椭圆上一点，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列，则椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．

解答 解：∵个椭圆中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵P（2，$\sqrt{3}$）是椭圆上一点，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\\{2a=4c}\end{array}\right.$，且a²=b²+c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．

点评 本题考是椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．