Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（2）若对任意的a∈[3，6]，x∈[-2，2]，不等式f（x）≤1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=x³+x²-x+m，化为m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根，求导确定单调性并求极值，由极值求实数m的取值范围；
（2）求导，确定函数f（x）=x³+ax²-a²x+m在[-2，2]上的最大值，不等式f（x）≤1恒成立可化为-8+4a+2a²+m≤1，从而求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x³+x²-x+m，
因为f（x）有三个互不相同的零点，所以f（x）=x³+x²-x+m=0，
即m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根，
令g（x）=-x³-x²+x，则g′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1），
易知g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）上为减函数，在（-1，

1

3

）为增函数，
则g（x）的极小值：g（-1）=-1g（x）的极大值：g（

1

3

）=

5

27

，
则-1＜m＜

5

27

．
（2）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a），且a＞0，
∴函数f（x）的递减区间为（-a，

a

3

），递增区间为（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）；
当a∈[3，6]时，

a

3

∈[1，2]，-a≤-3又x∈[-2，2]，
∵f（-2）-f（2）=4a²-16＞0，
∴f_max（x）=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，
∴f_max（x）≤1，
即-8+4a+2a²+m≤1，
即m≤-2a²-4a+9在a∈[3，6]恒成立，
∴m≤-87．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于基础题．