Question

在△ABC中，设角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为1，求abc．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知条件，利用同角三角函数关系求得sinA和sinB的值，代入两角和公式整理求得cos（A+B），进而求得cosC的值．
（Ⅱ）利用面积公式求得ab的值，同理求得bc和ac，然后相乘求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，sinB=

1-cos2B

=

10

10

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

∴cosC=cos（π-A-B）=-cos（A+B）=-

2

2

∵0＜C＜π，
∴C=

3π

4

．
（Ⅱ）∵

1

2

absinC=

1

2

absin

3π

4

=

2

4

ab=1，
∴ab=2

2

，
同理得bc=2

5

，ca=2

10

，
∴（abc）²=80，
故abc=4

5

．

点评：本题主要考查了正弦定理对运用，两角和公式进行恒等变换．考查了学生解决问题的能力．