Question

已知实数k∈R，且k≠0，e为自然对数的底数，函数f（x）=

k•ex

ex+1

，g（x）=f（x）-x．
（1）如果函数g（x）在R上为减函数，求k的取值范围；
（2）如果k∈（0，4]，求证：方程g（x）=0有且有一个根x=x₀；且当x＞x₀时，有x＞f（f（x））成立；
（3）定义：①对于闭区间[s，t]，称差值t-s为区间[s，t]的长度；②对于函数g（x），如果对任意x₁，x₂∈[s，t]⊆D（D为函数g（x）的定义域），记h=|g（x₂）-g（x₁）|，h的最大值称为函数g（x）在区间[s，t]上的“身高”．问：如果k∈（0，4]，函数g（x）在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数g（x）在R上为减函数，可知g′（x）≤0，即k≤

(ex+1)2

ex

，根据基本不等式求出

(ex+1)2

ex

≥4，即可确定k的取值范围；
（2）由g（x）在R上为减函数，g（0）=

k

1+1

-0=

k

2

＞0，g（4）＜0，易得g（x）=0有且只有一个根x=x₀．当x＞x₀时，有g（x）＜g（x₀）=0．即f（x）-x＜0，从而x＞f（x），又f（x）=

k•ex

ex+1

=

k

1+( 1 e )x

为增函数，f（x）＞f（f（x）），所以x＞f（f（x））成立；
（3）利用新定义得出x₁，x₂∈[t-2，t]，且x₁＜x₂时，h=|g（x₂）-g（x₁）|=2-k•

e-1

e+1

．当且仅当et=

e2

et

，即t=1时，h_min=2-k•

e-1

e+1

．
从而函数g（x）在长度为2的闭区间[-1，1]上“身高”最“矮”．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）-x=

k•ex

ex+1

-x在R上为减函数，
∴g′(x)=

kex(ex+1)-kex•ex

(ex+1)2

-1=

kex

(ex+1)2

-1≤0恒成立．
即k≤

(ex+1)2

ex

恒成立．
∵

(ex+1)2

ex

=ex+

1

ex

+2≥2+2=4．
当且仅当ex=

1

ex

，即x=0时，

(ex+1)2

ex

的最小值为4．
又由k≠0，
∴k的取值范围为（-∞，0）∪（0，4]．
（2）由（1）知，
k∈（0，4]时，g（x）在R上为减函数．
又g（0）=

k

1+1

-0=

k

2

＞0，
g（4）=

k•e4

e4+1

-4=

ke4-4e4-4

e4+1

=

(k-4)e4-4

e4+1

，
∵k≤4，
∴（k-4）e⁴-4＜0，
∴g（4）＜0．
∴g（x）=0在（0，4）上有一个根x=x₀．
又g（x）在R上为减函数，
∴g（x）=0有且只有一个根x=x₀．
∴当x＞x₀时，有g（x）＜g（x₀）=0．
即f（x）-x＜0，
∴x＞f（x）．①
又∵f（x）=

k•ex

ex+1

=

k

1+( 1 e )x

为增函数，
∴f（x）＞f（f（x））②．
由①②得，x＞f（f（x））成立．
（3）设x₁，x₂∈[t-2，t]，且x₁＜x₂，
由（1）知，k∈（0，4]时g（x）在R上为减函数，
∴h=|g（x₂）-g（x₁）|=g（x₁）-g（x₂）
≤g（t-2）-g（t）
=[f（t-2）-t-2]-[f（t）-t]
=f（t-2）-f（t）+2
=

k•et-2

et-2+1

-

k•et

et+1

+2
=k[

et

et+e2

-

et

et+1

]+2
=k•et•

1-e2

(et+e2)(et+1)

+2
=2-

k(e2-1)

et+ e2 et +(e2+1)

≥2-

k(e2-1)

2 et• e2 et +(e2+1)

=2-k•

e-1

e+1

．
其中k（e²-1）＞0，当且仅当et=

e2

et

，即t=1时，h_min=2-k•

e-1

e+1

．
∴函数g（x）在长度为2的闭区间[-1，1]上“身高”最“矮”．

点评：本题考查导数在研究函数单调性中的应用，基本不等式以及新定义问题的处理技巧和基本运算能力，属于难题．