Question

椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁F₂，离心率为

3

3

，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2

6

，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求点M的轨迹E的曲线方程；
（3）点A，B为曲线E上异于原点O的两点，OA⊥OB，

OA

+

OB

=

OC

，求四边形AOBC的面积最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得：

c a = 3 3 2ab=2 6 a2=b2+c2

，解得即可得出；
（2）点M满足：|MP|=|MF₂|，由抛物线的定义可得：点M是以F₂为焦点，l₁为准线的抛物线，即可得出其轨迹E的方程．
（3）设直线OA，OB的方程分别为：y=kx，y=-

1

k

x．与抛物线方程联立解得A(

4

k2

，

4

k

)，同理可得B（4k²，-4k）．可得S=|OA||OB|=

16 k4 + 16 k2

•

16k4+16k2

=16

k2+ 1 k2 +2

，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得：

c a = 3 3 2ab=2 6 a2=b2+c2

，
解得a²=3，c=1，b²=2．
∴椭圆G的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）点M满足：|MP|=|MF₂|，
∴点M是以F₂为焦点，l₁为准线的抛物线，
其轨迹E的方程为：y²=4x．
（3）设直线OA，OB的方程分别为：y=kx，y=-

1

k

x．（k≠0）
联立

y=kx y2=4x

，解得A(

4

k2

，

4

k

)，同理可得B（4k²，-4k）．
∴S=|OA||OB|=

16 k4 + 16 k2

•

16k4+16k2

=16

k2+ 1 k2 +2

≥32，当且仅当k=±1时取等号．
∴四边形AOBC的面积最小值为32．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线交转化为方程联立、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．