Question

4．a，b为不相等的正实数，且a，x，y，b成等差数列，a，m，n，b成等比数列，则下列关系式：①x＞m；②x＞n；③y＞m；④y＞n；③x+y＞m+n．
其中一定成立的关系式的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 设a，x，y，b依次成等差数列的公差为d，（d≠0），可得x=a+d，y=a+2d，b=a+3d；a，m，n，b依次成等比数列的公比为q，（q≠1），则m=aq，n=aq²，b=aq³，由b＞0，可得q＞0，所以有a+3d=aq³得到3d=aq³-a；作差可得x-m，x-n，y-m，y-n，因式分解，化简整理，即可得到x＞m，y＞n，由不等式性质可得x+y＞m+n．

解答 解：设a，x，y，b依次成等差数列的公差为d，（d≠0），
则x=a+d，y=a+2d，b=a+3d；
a，m，n，b依次成等比数列的公比为q，（q≠1），
则m=aq，n=aq²，b=aq³，由b＞0，可得q＞0，
所以有a+3d=aq³得到3d=aq³-a；
由x-m=a+d-aq=a（1-q）+$\frac{1}{3}$a（q-1）（q²+q+1）=$\frac{1}{3}$a（1-q）²（q+2）＞0，
可得x＞m；
x-n=a+d-aq²=a（1-q）（1+q）+$\frac{1}{3}$a（q-1）（q²+q+1）=$\frac{1}{3}$a（1-q）（[3-（q-1）²]，
则x-n的符号不确定；
y-m=a+2d-aq=a（1-q）+$\frac{2}{3}$a（q-1）（q²+q+1）=$\frac{1}{3}$a（1-q）[$\frac{3}{2}$-2（q+$\frac{1}{2}$）²]，
则y-m的符号不确定；
y-n=a+2d-aq²=a（1-q）（1+q）+$\frac{2}{3}$a（q-1）（q²+q+1）=$\frac{1}{3}$a（1-q）²（1+2q）＞0，
可得y＞n；
所以x+y＞m+n．
综上可得，一定成立的关系式的个数为3．
故选：A．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查作差法和分解因式的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．