Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若f（log₂a）+f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）≥2f（-1），则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2，4]
• B． [$\frac{1}{4}$，2]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，4]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 根据题意，由对数的运算性质可得3${log}_{\frac{1}{8}}$a=$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$=-log₂a，结合函数的奇偶性可得f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）=f（-log₂a）=f（log₂a），进而有f（log₂a）+f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）≥2f（-1）⇒2f（|log₂a|）≥2f（1），结合函数在区间[0，+∞）上单调递减，则有|log₂a|≤1，即-1≤log₂a≤1，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且3${log}_{\frac{1}{8}}$a=$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$=-log₂a，
则f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）=f（-log₂a）=f（log₂a），
则f（log₂a）+f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）=2f（log₂a）=2f（|log₂a|），
f（log₂a）+f（3${log}_{\frac{1}{8}}$a）≥2f（-1）⇒2f（|log₂a|）≥2f（1），
又由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
则有|log₂a|≤1，即-1≤log₂a≤1，
解可得$\frac{1}{2}$≤a≤2，
即a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，2]；
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，关键是得到关于a的不等式．