Question

9．已知：f（x）=x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈[-1，3]，则不等式f（x）-t≤2恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得0和4是方程x²+bx+c=0的两根，由韦达定理可得b，c的值，即可得到f（x）的解析式；
（2）由题意可得2+t≥f（x）在[-1，3]的最大值，求出f（x）的对称轴，可得x=-1时，取得最大值，解t的不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，4），
可得0和4是方程x²+bx+c=0的两根，
即有0+4=-b，0×4=c，解得b=-4，c=0，
f（x）=x²-4x；
（2）对于任意的x∈[-1，3]，则不等式f（x）-t≤2恒成立，
即为2+t≥f（x）在[-1，3]的最大值，
由f（x）的对称轴x=2，且f（-1）=1+4=5，f（3）=9-12=-3，
可得f（x）的最大值为5，
即有2+t≥5，解得t≥3，
则t的取值范围为[3，+∞）．

点评 本题考查二次不等式与二次方程的关系，以及韦达定理的运用，考查二次不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．