Question

已知函数（x-1）f（

x+1

x-1

）-f（x）=x，其中x≠1，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：首先，令

x+1

x-1

=t，解得x=

t+1

t-1

，然后，将此代人已知等式，化简得到

2

t-1

f(t)-f(

t+1

t-1

)=

t+1

t-1

，然后，联立方程组，从而得到函数f（x）的解析式．

解答： 解：设

x+1

x-1

=t，
则x=

t+1

t-1

，
∴(

t+1

t-1

-1)f(t)-f(

t+1

t-1

)=

t+1

t-1

，

∴

2

t-1

f(t)-f(

t+1

t-1

)=

t+1

t-1

 
∴

2

x-1

f(x)-f(

x+1

x-1

)=

x+1

x-1

   ①
∵（x-1）f（

x+1

x-1

）-f（x）=x    ②
联立①②，解得
f（x）=2x+1，（x≠1），
∴函数f（x）的解析式f（x）=2x+1，（x≠1）．

点评：本题重点考查函数的解析式求解方法，理解换元法在求解函数解析式中的应用，属于中档题．