Question

已知

m

=(2sinx，sinx-cosx)，

n

=(

3

cosx，sinx+cosx)，函数f(x)=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，若f(

A

2

)=2，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积公式运算，并结合二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简，可得f(x)=2sin(2x-

π

6

)；
（2）由f(

A

2

)=2算出A=

2π

3

，根据三角形的面积公式算出c=2．最后根据余弦定理加以计算，可得边a的值．

解答： 解：（1）∵

m

=(2sinx，sinx-cosx)，

n

=(

3

cosx，sinx+cosx)，
∴f(x)=

m

•

n

=(2sinx，sinx-cosx)•(

3

cosx，sinx+cosx)
=2

3

sinxcosx+sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
即f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x-

π

6

)；
（2）由（1）得f(

A

2

)=2sin(A-

π

6

)=2，即sin(A-

π

6

)=1
∴结合A为三角形的内角，得A-

π

6

=

π

2

，解得A=

2π

3

．
又∵

1

2

bcsinA=

3

2

，
∴

1

2

×1×c×sin

2π

3

=

3

2

，解之得c=2．
因此，根据余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=1+4+2=7，
解得a=

7

（舍负）

点评：本题求三角函数的解析式，并依此解△ABC．着重考查了向量数量积公式、三角恒等变换公式、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．