题目内容

已知θ∈R，复数z1=1+cosθ+isinθ，z2=1-cosθ+isinθ．
（1）当θ取何值时，z1•z2是实数；
（2）求证：|z1|•|z2|=2|sinθ|．
考点：复数求模,复数的代数表示法及其几何意义
专题：数系的扩充和复数
分析：（1）利用复数的运算法则和正弦函数的性质即可得出；
（2）利用复数模的计算公式和三角函数的平方关系即可得出．
解答： 解：（1）∵z1•z2=（1+cosθ+isinθ）（1-cosθ+isinθ）=1-cos2θ-sin2θ+2isinθ=2isinθ，
若z1•z2是实数，则有2sinθ=0，解得θ=kπ（k∈Z）．
（2）∵|z1||z2|=
(1+cosθ)2+sin2θ
(1-cosθ)2+sin2θ
=
2+2cosθ
•
2-2cosθ
=2|sinθ|．
∴|z1|•|z2|=2|sinθ|．
点评：本题考查了复数的运算法则、复数模的计算公式、正弦函数的性质、三角函数的平方关系，属于基础题．
练习册系列答案
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下列四个数中，是数列{n（n-1）}中的一项的是（　　）
A、56B、39C、32D、23
已知
m
=(2sinx，sinx-cosx)，
n
=(
3
cosx，sinx+cosx)，函数f(x)=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，若f(
A
2
)=2，b=1，△ABC的面积为
3
2
，求a的值．
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意x∈D，等式f(kx)=
k
2
+f(x)恒成立．
（1）试判断一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M；
（2）证明f（x）=log2x属于集合M，并写出一个满足条件的常数k．
对实数a，b定义运算“?”：a?b=
a…a-b≤1
b…a-b＞1
，设函数f（x）=（x2-2）?（x-1），x∈R，若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是
 
．
化简：
tan(π-α)cos(2π-α)sin(-α+
3π
2
)
cos(-α-π)sin(-π-α)
．
若关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和(
1
b
，
1
a
)，则称这两个不等式为“对偶不等式”．如果不等式x2-4
3
xcos2θ+2＜0与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈(0，
π
2
)，则θ=
 
．
若-1，a1，a2，-4四个实数成等差数列，-1，b1，b2，b3，-4五个实数成等比数列，则
a2-a1
b2
=
 
．
已知x∈(-
π
2
，
π
2
)，则sinx，tanx与x的大小关系是（　　）
A、tanx≥sinx≥x
B、tanx≥x≥sinx
C、大小关系不确定
D、|tanx|≥|x|≥|sinx|

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