Question

已知向量

a

=（2，2），向量

b

与向量

c

的夹角为

3

4

π，且

a

•

b

=-2，
（1）求向量

b

；
（2）若

t

=（-1，0）且

b

⊥

t

，

c

=（cosA，2cos²

C

2

），其中A，C是△ABC的内角，∠B=60°，试求|

b

+

c

|的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）设出

b

=（x，y），由

a

•

b

=-2得出x与y的关系，从而求出x、y的值，即得向量

b

；
（2）由

t

⊥

b

得

b

=（0，-1），求出

b

+

c

及其模|

b

+

c

|的表达式，由∠B=60°得A+C=120°，化简|

b

+

c

|，求出它的取值范围．

解答： 解：（1）设

b

=（x，y），
则

a

•

b

=2x+2y=-2，
∴x+y=-1①；
又∵

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos

3

4

π=-2，
∴|2

2

|×|

b

|×（-

2

2

）=-2，
∴|

b

|=1，即x²+y²=1②；
由①②解得

x=-1 y=0

或

x=0 y=-1

，
∴

b

=（-1，0）或=（0，-1）；
（2）∵

t

=（-1，0）且

t

⊥

b

，
∴

b

=（0，-1）；
∴

b

+

c

=（cosA，2cos²

C

2

-1）
=（cosA，cosC），
∴|

b

+

c

|=

cos2A+cos2C

，
∵∠B=60°，∴A+C=120°；
∴|

b

+

c

|=

cos2A+cos2(120°-A)

=

1+cos2A 2 + 1+cos(240°-2A) 2

=

1+ 1 2 cos(2A+60°)

；
∵0°＜A＜120°，
∴60^°＜2A+60°＜300°，
∴-1≤cos（2A+60°）＜

1

2

，
∴

1

2

≤|

b

+

c

|2＜

5

4

，
∴

2

2

≤|

b

+

c

|＜

5

2

．

点评：本题考查了向量的坐标运算以及求数量积、模长和垂直等问题，是综合性题目．