Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象（部分）如图所示；
（Ⅰ）求函数f（x）的解析是；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2f（A）=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）由图知，A=2，T=π，于是可求得ω=2；利用f（

π

6

）=2为函数的最大值可求得φ，从而可得函数f（x）的解析是；
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+

π

6

 ）=2，A∈（0，π），可求得A=

π

6

，利用余弦定理可求得bc=3（2-

3

），从而可得△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数的最大值为2，∴A=2
又∵函数的周期T=4（

5π

12

-

π

6

）=π，…（2分）
∴ω=

2π

T

=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ），
∵f（

π

6

）=2为函数的最大值，
∴2×

π

6

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），
结合|φ|＜

π

2

，取k=0得φ=

π

6

，…（4分）
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）                …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（A）=2sin（2A+

π

6

 ）=2，
∵A∈（0，π），∴2A+

π

6

=

π

2

，得A=

π

6

，…（8分）
根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cos

π

6

 ），
即1=2²-2bc（1+cos

π

6

 ），解之得bc=

3

2+ 3

=3（2-

3

）        …（10分）
因此，△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3（2-

3

）×sin

π

6

=

6-3 3

4

  …（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的性质与余弦定理的应用，属于中档题．