Question

已知函数f（x）=|log₂x|-m（m＞0）的零点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数g（x）=|log₂x|-

8

2m+1

（m＞0）的零点分别为x₃，x₄（x₃＜x₄），则

|x2-x4|

|x1-x3|

的最小值为（　　）

• A、4

  3	4

• B、8

  3	4

• C、4

  2

• D、8

  2

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意求出x₁，x₂，x₃，x₄，化简所求表达式，利用基本不等式求出表达式的最小值即可．

解答： 解：函数f（x）=|log₂x|-m（m＞0）的零点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴x₁=(

1

2

)m，x₂=2^m，
函数g（x）=|log₂x|-

8

2m+1

（m＞0）的零点分别为x₃，x₄（x₃＜x₄），
∴x₃=(

1

2

)

8

2m+1

，x₄=2

8

2m+1

，
∴

|x2-x4|

|x1-x3|

=

|2m-2 8 2m+1 |

|( 1 2 )m-( 1 2 ) 8 2m+1 |

=

|2m-2 8 2m+1 |2m•2 8 2m+1

|2m-2 8 2m+1 |

=2m•2

8

2m+1

=2m+

8

2m+1

=2m+

1

2

+

4

m+ 1 2

-

1

2

∵m+

1

2

+

4

m+ 1 2

-

1

2

≥2

(m+ 1 2 )• 4 m+ 1 2

-

1

2

=

7

2

，当且仅当m=

3

2

时等号成立，
∴2m+

1

2

+

4

m+ 1 2

-

1

2

≥2

7

2

=8

2

．
故选：D．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，函数的零点以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．