Question

十二届全国人大二次会议上，李克强总理提出“以雾霾频发的特大城市和区域为重点，以细颗粒物PM2.5和可吸入颗粒物PM10为突破口…”治理污染，“要像对贫困宣战一样，坚决向污染宣战”，其中总理提到的“PM2.5”是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为人肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米-75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．在某市2013年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示：

PM2.5日均值（微克/立方米）	[25，35]	[35，45]	（45，55]	（55，65]	（65，75]	（75，85]
频数	3	1	1	1	1	3

（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，用X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列；
（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．（精确到整数）

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：二项式定理

分析：（1）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级，设“达到一级”为事件A，若随机抽取3天，恰有1天空气质量达到一级的概率，利用二项分布即可得．
（2）利用“超几何分布”即可得出；
（3）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级，只有4天达到二级，因此这10天空气质量达到一级或二级的概率，利用数学期望计算公式即可得出．

解答： 解：（1）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出 三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，
P（A）=

C 1 3 •C 2 7

C 3 10

=

21

40

，
（2依据条件，X服从超几何分布：其中n=10，M=3，n=3，X的可能值为0，1，2，3，其分布列为：P（X=k）=

C k 3 •C 3-k 7

C 3 10

，其中k=0，1，2，3，

X	0	1	2	3
P	7 24	21 40	7 40	1 120

（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=

7

10

，
一年中空气质量达到一级或二级的天数为Y，则Y～B（366，0.7）
∴EY=366×0.7≈256
∴一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级

点评：本题考查了二项分布、“超几何分布”及其数学期望等基础知识与基本技能，属于基础题．