Question

如图，设A（2，4）是抛物线C：y=x²上的一点．
（1）求该抛物线在点A处的切线l的方程；
（2）求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，可得切线斜率，从而可得该抛物线在点A处的切线l的方程；
（2）利用定积分可求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．

解答： 解：（1）∵y=x²，∴y′=2x-------------------------------2分
∴直线?的斜率k=y/|_x=2 =4---------------------------------------4分
∴l：y-4=4（x-2），即y=4x-4为所求．----------------7分，
（2）：法一：切线y=4x-4与x轴的交点为B（1，0），
则面积S=

∫

1 0

x2dx+

∫

2 1

[x2-(4x-4)]dx=

2

3

-------------------------------13分
法二：面积S=

∫

4 0

(

y

4

+1-

y

)dy=(

1

8

y2+y-

2

3

×y

2

3

)

.

4 0

=

2

3

，
∴曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积为

2

3

．

点评：本题考查导数的几何意义，考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．