Question

设函数f（x）=ax²+（b-2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）．
（1）求a，b的值；
（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为3，求实数m的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：综合题

分析：第（1）问考查二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三个二次的关系，根据不等式的解集知道对应方程的两个根，然后利用根与系数的关系求出a，b的值；第（2）问考查二次函数在闭区间上的最值，要分析对称轴与区间的关系．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+（b-2）x+3＞0的解集为（-1，3），
∴方程ax²+（b-2）x+3=0的两根为-1，3，
   由根与系数的关系得，-1+3=-

2-b

a

，-1×3=

3

a

，解得a=-1，b=4；
  （2）由（1）知，f（x）=-x²+2x+3，对称轴为x=1，
   所以函数f（x）=-x²+2x+3在区间[m，1]上是增函数，
∴fmin(x)=f(m)=-m2+2m+3
  由-m²+2m+3=3解得m=0或m=2，
   根据题意知m＜1，
∴m=0．

点评：这是一三个二次的综合问题，主要考查三个二次的关系，二次函数在闭区间上的最值问题，考查了数形结合、方程的思想．