Question

已知直线l与圆C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）实数a的取值范围以及直线l方程
（2）若弦AB=2

7

，求圆的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围．
（2）求出圆心到直线的距离，根据弦AB=2

7

，求出圆的半径，即可得到圆的方程．

解答： 解：（1）圆的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=5-a，
则圆心C（-1，2），半径r=

5-a

，
∵弦AB的中点为M（0，1）．
∴点M在圆内部，即

12+(1-2)2

＜

5-a

，
即

2

＜

5-a

，
∴5-a＞2，即a＜3．
∵弦的中点为M（0，1）．
∴直线CM的斜率k=

2-1

-1-0

=-1，
则直线l的斜率k=1，
则直线l的方程为y-1=x，即x-y+1=0．
（2）圆心C到直线x-y+1=0的距离d=

|-1-2+1|

2

=

2

2

=

2

，
若弦AB=2

7

，
则d 2+(

AB

2

)2=r2，
即2+7=5-a=9，
解得a=-4，此时半径r=3，
∴圆的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=9．

点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．