题目内容
对于函数f（x）=
（x∈R）．
（1）判断f（x）在R上的单调性用定义证明；
（2）在a=1的条件下，解不等式f（2t+1）≤f（t-5）．
| a+2 |
| 2x+1 |
（1）判断f（x）在R上的单调性用定义证明；
（2）在a=1的条件下，解不等式f（2t+1）≤f（t-5）．
考点：函数单调性的判断与证明,奇偶性与单调性的综合
专题：函数的性质及应用
分析：（1）先判断函数f（x）的单调性，再利用函数单调性的定义的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明，需要对a分类讨论判断出符号；
（2）由（1）得到函数的单调性，利用函数单调性的定义将不等式转化为关于x的不等式，再求出解集．
（2）由（1）得到函数的单调性，利用函数单调性的定义将不等式转化为关于x的不等式，再求出解集．
解答：
解：（1）当a＜-2时，a+2＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上是增函数，
当a＞-2时，a+2＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上是减函数，
当a=-2时，a+2=0，即f（x1）-f（x2）=0，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上没有单调性；
证明如下：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=
-
=（a+2）
=（a+2）
，
因为x1＜x2，所以2x2＞2x1＞0，则
＞0，
当a＜-2时，a+2＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上是增函数，
当a＞-2时，a+2＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上是减函数，
当a=-2时，a+2=0，即f（x1）-f（x2）=0，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上没有单调性；
（2）由（1）得，当a=1时f（x）在R上是减函数，
所以不等式f（2t+1）≤f（t-5）等价于2t+1≥t-5，解得t≥-6，
所以不等式的解集是[-6，+∞）．
当a＞-2时，a+2＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上是减函数，
当a=-2时，a+2=0，即f（x1）-f（x2）=0，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上没有单调性；
证明如下：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=
| a+2 |
| 2x1+1 |
| a+2 |
| 2x2+1 |
| 2x2+1-(2x1+1) |
| (2x1+1)(2x2+1) |
| 2x2-2x1 |
| (2x1+1)(2x2+1) |
因为x1＜x2，所以2x2＞2x1＞0，则
| 2x2-2x1 |
| (2x1+1)(2x2+1) |
当a＜-2时，a+2＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上是增函数，
当a＞-2时，a+2＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上是减函数，
当a=-2时，a+2=0，即f（x1）-f（x2）=0，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上没有单调性；
（2）由（1）得，当a=1时f（x）在R上是减函数，
所以不等式f（2t+1）≤f（t-5）等价于2t+1≥t-5，解得t≥-6，
所以不等式的解集是[-6，+∞）．
点评：本题考查函数的单调性的定义，以及利用单调性的定义的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论证明，考查分类讨论思想．
练习册系列答案
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函数f（x）=
，则y=f（x）在（-∞，0]上是（ ）
| 1 |
| 2x+1 |
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| B、单调递减函数且有最小值 |
| C、单调递减函数且无最大值 |
| D、单调递增函数且有最大值 |
在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=
，则
的值为（ ）
| 3 |
| a |
| sinA |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、2
|